Sistemas Decimal, Binário, Octal e Hexadecimal

Sistemas posicionais

Em um sistema de numeração posicional, um número é uma sequência de dígitos e uma base $b$ (inteiro $b\ge 2$). O dígito $d_i$ na casa $i$ — da direita para a esquerda, começando em $i=0$ — vale $d_i\times b^i$. A mesma quantidade admite várias escritas; o subscrito marca a base, e sem subscrito assume-se decimal. Com vírgula, a casa de expoente $0$ fica imediatamente à esquerda dela.

Circuitos digitais trabalham com bits (dígitos $0$ e $1$, base $2$). Octal (base $8$) e hexadecimal (base $16$) existem porque $8=2^3$ e $16=2^4$: cada dígito octal agrupa três bits, cada dígito hex agrupa quatro. Isso encurta endereços — números que identificam uma posição — e constantes, sem mudar o valor.

Valor posicional

Fixada a base $b$, os dígitos permitidos são $0,1,\ldots,b-1$. Se o número tem casas $k$ até $0$,

Essa soma é a expansão posicional. Cada sequência de dígitos (sem zeros à esquerda, salvo o próprio zero) corresponde a um único inteiro não negativo, e cada inteiro tem exatamente uma escrita em cada base.

As quatro bases deste tópico:

• Decimal, $b=10$: dígitos $0$–$9$. $237=2\cdot 10^2+3\cdot 10^1+7\cdot 10^0$.
• Binário, $b=2$: dígitos $0$ e $1$, os bits. Um grupo de $8$ bits (um byte) distingue $2^8=256$ valores, de $00000000_2$ a $11111111_2$.
• Octal, $b=8$: dígitos $0$–$7$.
• Hexadecimal, $b=16$: dígitos $0$–$9$ e $A$–$F$, com $A=10$, $B=11$, $C=12$, $D=13$, $E=14$, $F=15$.

Um bloco de $4$ bits chama-se nibble. Como $2^4=16$, cada nibble é um dígito hex; como $2^3=8$, cada trio de bits é um dígito octal.

Há dois algoritmos, e eles não se misturam: divisão sucessiva passa um inteiro decimal a outra base; agrupamento passa a escrita em bits para octal ou hex. Zero de preenchimento, quando falta um bloco completo, entra só à esquerda do número inteiro — inserir zero no meio inventa bits e muda o valor. Hex $\leftrightarrow$ octal passa pelos bits.

Decimal para binário, octal e hex

Converter $22_{10}$ para binário: divisão sucessiva por $2$. O resto é o dígito da casa em que a divisão cai; o quociente é o inteiro que ainda falta escrever à esquerda.

Começa-se pelo $22$ inteiro: a primeira divisão é por $2$, e o resto é o dígito da casa $i=0$ (peso $2^0=1$). $22=11\cdot 2+0$:

• $22\div 2=11$, resto $0$
• $11\div 2=5$, resto $1$
• $5\div 2=2$, resto $1$
• $2\div 2=1$, resto $0$
• $1\div 2=0$, resto $1$

O quociente $0$ encerra: não resta inteiro para uma casa mais alta. Os restos de baixo para cima são $10110_2$, porque o primeiro resto ficou na casa $i=0$ e o último na mais alta. Conferência: $1\cdot 16+0\cdot 8+1\cdot 4+1\cdot 2+0\cdot 1=22$.

O mesmo $22$ em octal: a base destino é $8$, então cada resto é um dígito $0$–$7$. $22\div 8=2$ resto $6$, depois $2\div 8=0$ resto $2$, logo $26_8$. Em hex: $22\div 16=1$ resto $6$, logo $16_{16}$. De fato $22_{10}=10110_2=26_8=16_{16}$.

Quando o resto passa de $9$, escreve-se letra. $439\div 16=27$ resto $7$; $27\div 16=1$ resto $11$ ($B$); $1\div 16=0$ resto $1$. Logo $1B7_{16}$. Conferência: $1\cdot 256+11\cdot 16+7=439$.

A volta para decimal é a expansão posicional, só com expoentes $\ge 0$. $345_8=3\cdot 8^2+4\cdot 8+5=3\cdot 64+4\cdot 8+5=229$. $1A3_{16}=1\cdot 16^2+10\cdot 16+3=1\cdot 256+10\cdot 16+3=419$.

Parte fracionária e pesos $2^{-k}$

A expansão inteira para na casa de expoente $0$. A vírgula continua a contagem para a direita: o expoente $k$ é a posição relativa a ela, e nessas casas $k=-1,-2,\ldots$. Em qualquer base $b$, a casa $k$ pesa $b^k$. Em binário, os pesos logo após a vírgula são $2^{-1}=\frac{1}{2}$, $2^{-2}=\frac{1}{4}$, $2^{-3}=\frac{1}{8}$, e a metade do peso anterior em cada casa seguinte.

A parte fracionária $0{,}d_{-1}d_{-2}\cdots d_{-m}$ vale

Casa com dígito $0$ não entra na soma. A parte inteira converte-se pela expansão de expoentes $\ge 0$ e soma-se a essa parcela; nenhum expoente aparece dos dois lados da vírgula.

Cada casa à direita divide o peso por $2$, porque $2^{-(k+1)}=2^{-k}/2$. A regra é a mesma da parte inteira; muda só o sinal de $k$.

Converter $0{,}111_2$ para decimal.

De hex para octal, bit a bit

O agrupamento funciona porque três bits $xyz$ valem $x\cdot 4+y\cdot 2+z\cdot 1$, um inteiro $0$–$7$; quatro bits valem $0$–$15$, um dígito hex. Recortar da direita alinha o peso $2^0$ com o bit menos significativo. Recortar da esquerda, ou inserir zero entre nibbles, desloca os pesos.

Primeiro um binário já alinhado. $10111101_2$ parte em nibbles $1011\,1101$ $\to$ $B$ e $D$ $\to$ $BD_{16}$. Conferência: $11\cdot 16+13=189$ e $128+32+16+8+4+1=189$.

Com comprimento que não é múltiplo de $3$: $1101011_2$ tem sete bits. Da direita os trios são $1\,101\,011$; o zero entra só à esquerda, $001\,101\,011$ $\to$ $153_8$. Conferência: $1\cdot 64+5\cdot 8+3=107$ e $64+32+8+2+1=107$. Agrupar como $011\,010\,111$ (preenchimento à esquerda e um bit inventado à direita) produz o octal falso $327_8=215$.

Agora hex $\to$ octal sem preencher nibble a nibble.

Faixa de endereços inclusive

Uma faixa de endereços $A$ até $B$ inclusive — os dois extremos entram — tem

valores, calculados na mesma base. Esquecer o $+1$ conta um endereço a menos. Com só $B-A$ obtém-se a contagem de um intervalo aberto à direita.

Os endereços de $0020_{16}$ até $00FF_{16}$, os dois inclusive, formam quantos valores?