Conceitos Básicos e Terminologia

Geometria analítica no plano

Geometria analítica no plano troca figuras por equações. Um ponto vira um par ordenado $(x,y)$, dois números em ordem fixa; uma reta vira uma equação linear; "este ponto está na figura?", "estas duas escritas descrevem o mesmo objeto?" ou "as figuras se cruzam?" viram contas com essas coordenadas.

Sem isso, "cruzar", "pertencer" e "ser a mesma reta" são juízos sobre um desenho. Com coordenadas, cada juízo vira teste algébrico: substituir, comparar coeficientes, ou exigir que duas equações valham ao mesmo tempo.

Trabalha-se no plano cartesiano: eixos perpendiculares, origem $(0,0)$, cada ponto um par.

Ponto $\leftrightarrow$ equação

Fixados os eixos, cada ponto $P$ do plano corresponde a um único par ordenado $(x_P,y_P)$, e cada par corresponde a um único ponto. Não há ponto sem coordenadas, nem dois pares distintos para o mesmo ponto. A ordem importa: $(2,1)$ e $(1,2)$ são pontos diferentes.

Uma figura (reta, circunferência, segmento…) é um conjunto de pontos. Na geometria analítica esse conjunto se descreve como o lugar geométrico dos pares $(x,y)$ que satisfazem uma equação $F(x,y)=0$:

"Estar na figura" passa a ser "as coordenadas anulam $F$". A função $F$ não desenha: a cada par devolve um número. Avaliar $F(x_P,y_P)$ e perguntar se o resultado é zero é o mesmo tipo de teste que avaliar uma condição booleana num ponto do plano.

Dada a figura, escreve-se $F$ cujo conjunto de zeros é a figura. Dada a equação, o lugar $\mathcal{F}$ é a figura: cada par que anula $F$ é um ponto dela, e não há outros. Um segmento $AB$ não ganha uma equação nova; é o subconjunto da reta pelos extremos que fica entre $A$ e $B$. Pertencer à reta é $F=0$; pertencer ao segmento é essa pertinência mais a restrição de estar entre os extremos.

Escrevemos $F=0$ porque nem todo lugar se descreve como gráfico $y=\ldots$. Uma reta vertical, por exemplo, tem equação $x-a=0$: não há como isolá-la na forma $y=\ldots$. A forma geral $Ax+By+C=0$ cobre todas as retas do plano, inclusive essa. Isolar $y$ (quando $B\neq 0$) é uma escrita; o objeto é o lugar $\mathcal{F}$.

A pergunta geométrica deixa de depender do desenho: só importam as coordenadas e a equação.

• Pertinência. $P$ pertence a $\mathcal{F}$ se e somente se $F(x_P,y_P)=0$.
• Mesmo objeto, outra escrita. Se $G=\lambda F$ com $\lambda\neq 0$, então $F(x,y)=0$ se e somente se $G(x,y)=0$: o fator $\lambda$ não cria nem apaga zeros. Para uma reta $Ax+By+C=0$, multiplicar $A$, $B$ e $C$ pelo mesmo número não-nulo não muda a reta.
• Interseção. Um ponto comum a duas figuras $\mathcal{F}$ e $\mathcal{G}$ é um par que satisfaz $F=0$ e $G=0$ ao mesmo tempo.

$2x-2y-2=0$ e $x-y-1=0$ são escritas diferentes da mesma reta. "Pertencer" exige $F=0$. Se a substituição não dá zero, o ponto não está na figura.

Por exemplo, seja $r$ a reta $x-y-1=0$ e $P(2,1)$. Substituir dá $2-1-1=0$, logo $P$ pertence a $r$. O ponto $Q(3,1)$ dá $3-1-1=1\neq 0$: $Q$ não pertence. A mesma reta também se escreve $2x-2y-2=0$; em $P$ fica $4-2-2=0$, como antes. Isolar $y$ (aqui $B=-1\neq 0$) dá $y=x-1$; em $P$, $1=2-1$, de novo o mesmo teste. As três equações descrevem o mesmo lugar.

Mesma reta, outro ponto, outra equação

Considere as equações

e os pontos $P(1,1)$ e $Q(3,0)$. A pergunta geométrica é: quais desses objetos coincidem, e quais pontos pertencem a quais retas?