Funções Reais de Uma Variável

Função de uma variável real

Uma função $f\colon A\to B$ associa a cada $x\in A$ exatamente um valor $f(x)\in B$. $A$ é o domínio (entradas permitidas); $B$ é o contradomínio (o conjunto de chegada declarado). O conjunto imagem é $\{f(x):x\in A\}$, um subconjunto de $B$: o que a regra de fato atinge.

A cláusula "exatamente um" é o que distingue função de relação: uma relação reúne pares sem exigir saída única, e o mesmo $x$ poderia ter duas saídas. No plano, a exigência de uma saída é o teste da reta vertical. A circunferência

não é gráfico de $y$ como função de $x$: cada $x\in(-1,1)$ tem dois $y$, $\sqrt{1-x^2}$ e $-\sqrt{1-x^2}$. Para ter função, escolhe-se um ramo (o semicírculo de cima, por exemplo). Dois $x$ distintos podem compartilhar a mesma saída: $g(-2)=g(2)=4$ não viola nada.

Domínio, contradomínio e imagem

O domínio é o maior conjunto de reais nos quais a fórmula faz sentido, salvo o enunciado restringir. Três restrições cobrem o que aparece:

• denominador $\neq 0$;
• radicando de raiz de índice par $\ge 0$;
• argumento de $\ln$ (quando aparecer) $>0$.

Cada restrição corta um pedaço; o domínio é a interseção do que sobra. Uma fórmula mista (produto, quociente, uma função dentro da outra) herda todas as cortes das peças. Em $\sqrt{x}/(x-2)$ entram as duas: $x\ge 0$ pela raiz e $x\neq 2$ pelo denominador, logo o domínio é $[0,2)\cup(2,\infty)$; o $2$ sai mesmo estando à direita de $0$.

O contradomínio é uma escolha de apresentação. Escrever $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ com $f(x)=x^2$ é correto: cada real tem um quadrado real. A imagem, porém, é $[0,\infty)$: nenhum negativo é atingido. "Chegar em $B$" quer dizer que cada saída está em $B$, sem exigir atingir todo $B$.

Por que separar. A imagem responde "quais saídas de fato ocorrem". O contradomínio responde "em que conjunto as saídas são consideradas". Invertibilidade, por exemplo, exige imagem igual ao contradomínio (sobrejetividade: todo elemento declarado em $B$ é atingido) além de entradas distintas darem saídas distintas. Com $f(x)=x^2$ e contradomínio $\mathbb{R}$, falta sobrejetividade; com contradomínio $[0,\infty)$, a mesma regra já cobre todas as saídas declaradas. Trocar o contradomínio não muda a regra $x\mapsto x^2$; muda só o que se declara como conjunto de chegada.

A notação $f(x)$ é a avaliação: a saída no ponto $x$. Se $f(x)=2x+3$, então $f(5)=13$. A composta $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ aplica $g$ e em seguida $f$; só está definida onde $g(x)$ cai no domínio de $f$.

Exemplo: $\sqrt{x}$ e $x^2$

$f(x)=\sqrt{x}$ (raiz quadrada real) tem domínio $[0,\infty)$: não há $\sqrt{\,}$ real de negativo. Com contradomínio $\mathbb{R}$, a imagem é $[0,\infty)$, o mesmo conjunto do domínio neste caso. Já $g(x)=x^2$ com domínio $\mathbb{R}$ e contradomínio $\mathbb{R}$ tem imagem $[0,\infty)$: o contradomínio é maior que a imagem.

Em $x=-2$,

está definido; $f(-2)$ não está. Em $x=4$, os dois existem: $f(4)=2$ e $g(4)=16$. Polinômio e raiz se distinguem pelo recorte do domínio.

Em um conjunto finito o mesmo recorte aparece sem fórmula. Se $A=\{1,2,3\}$ e $h(1)=2$, $h(2)=3$, $h(3)=3$, a imagem é $\{2,3\}$, não $A$ nem um contradomínio $\mathbb{R}$ que se tenha declarado. O ponto $1$ não está na imagem: nenhum $x\in A$ satisfaz $h(x)=1$. Avaliar é só aplicar a regra: $h(2)=3$. Pedir $h(4)$ não faz sentido; $4\notin A$. O contradomínio poderia ser $\{2,3,4\}$ ou $\mathbb{R}$; a imagem continua $\{2,3\}$.

"$f$ vai de $A$ em $B$" exige apenas que cada saída esteja em $B$. Preencher todo $B$ é sobrejetividade, um requisito à parte. A definição só exige que cada entrada tenha uma saída em $B$.

Tipos: polinômio, racional, raiz

Polinômio. $f(x)=a_n x^n+\cdots+a_0$ com $n\in\mathbb{N}$ e $a_n\neq 0$. O domínio é $\mathbb{R}$ inteiro: não há divisão nem raiz que quebre. O termo líder $a_n x^n$ governa o comportamento quando $|x|$ é grande: se $n$ é ímpar e $a_n>0$, $f(x)\to+\infty$ quando $x\to+\infty$ e $f(x)\to-\infty$ quando $x\to-\infty$. Se $n$ é par e $a_n>0$, os dois lados vão a $+\infty$.

Exemplo curto: $f(x)=2x^3-3x^2+x-5$ tem grau $3$ e líder $2>0$, logo $f(x)\to-\infty$ quando $x\to-\infty$ e $f(x)\to+\infty$ quando $x\to+\infty$. Um polinômio de grau $2$ com líder positivo, $x^2-1$, tem $f(x)\to+\infty$ nos dois sentidos de $x\to\pm\infty$ e corta o eixo em $\pm 1$; o domínio continua sendo $\mathbb{R}$, a imagem é $[-1,\infty)$ (o vértice em $x=0$ vale $-1$).

Racional. $f(x)=P(x)/Q(x)$ com $P,Q$ polinômios e $Q\not\equiv 0$. O domínio exclui as raízes de $Q$. O que acontece num zero de $Q$:

• Se $Q(c)=0$ e $P(c)\neq 0$, há assíntota vertical em $c$: os valores saem de qualquer faixa finita.
• Se $P(c)=Q(c)=0$, cancele fatores $x-c$ para $x\neq c$. Resta um buraco só se a ordem do zero de $Q$ em $c$ não superar a de $P$: após cancelar, o denominador não zera em $c$, e os valores próximos de $c$ se aproximam de um número finito — o limite em $c$, o valor que $f(x)$ aborda quando $x$ se aproxima de $c$, sem precisar de $f(c)$. Se a ordem de $Q$ for maior, como $(x-1)/(x-1)^2=1/(x-1)$ para $x\neq 1$, ainda há assíntota, não buraco.

O cancelamento muda a fórmula, não o domínio original; $c$ continua de fora até alguém redefinir $f(c)$ manualmente. Não classifique buraco ou assíntota só por $P(c)=0$: confira as ordens.

Raiz. $f(x)=\sqrt[k]{g(x)}$. Se $k$ é par, o domínio exige $g(x)\ge 0$ (e o que mais $g$ exigir: denominador, etc.). Se $k$ é ímpar, $g(x)$ pode ser negativo. Uma fórmula mista herda todas as restrições.

Exemplo: domínio de $5x^2\sqrt{x+1}$

Gráfico e buraco removível

Esboçar começa pelo domínio: o que não está definido não pode aparecer como ponto do gráfico. Interceptos ($f(x)=0$ e, se $0$ está no domínio, $f(0)$) e simetria ($f(-x)=\pm f(x)$) ajudam, mas o erro típico é cancelar um fator e esquecer o buraco.

Exemplo: $\dfrac{x^2-1}{x-1}$

Translação $y=f(x-h)+k$

$f(u)=1/u$, $h=1$, $k=2$ dão $y=2+\frac{1}{x-1}$. O ponto $(2,\frac12)$ de $y=1/x$ vai para $(3,\frac52)$: $2+1=3$ e $\frac12+2=\frac52$.

A assíntota vertical $x=0$ vira $x=1$; a horizontal $y=0$ vira $y=2$.

Se $g(x)=f(x-h)+k$, cada ponto $(a,f(a))$ vai para $(a+h,f(a)+k)$. Com $h>0$ o gráfico desloca à direita; com $k>0$, para cima.

Por que o sinal de $h$. $g$ avalia $f$ em $x-h$; o valor $f(0)$ ocorre quando $x=h$, então o desenho de $f$ aparece $h$ à direita.

Completar o quadrado: denominador sempre positivo

$t^2+4t+6$: metade de $4$ é $2$, logo $t^2+4t=(t+2)^2-4$ e $t^2+4t+6=(t+2)^2-4+6=(t+2)^2+2$.

$(t+2)^2\ge 0$ para todo $t$ real; somar $2$ dá $(t+2)^2+2\ge 2>0$. O quadrático nunca zera.

Para $t^2+bt+c$, escreva $t^2+bt=(t+\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2$. Se resta $k>0$, o quadrático é $(t+\frac{b}{2})^2+k\ge k>0$ e nunca zera.

Uma racional $P/Q$ com esse $Q$ não tem assíntota vertical: o domínio, se $P$ é polinômio, é $\mathbb{R}$ inteiro.

Inversa de $y=\dfrac{x}{1\pm x}$

Para achar o $x$ que produz um $y$ dado, isole $x$ em $y=f(x)$. Com $f(x)=\frac{x}{1+|x|}$, o módulo vale $x$ ou $-x$ conforme o sinal, e a fórmula racional muda de ramo.

Crescente estrita pela diferença

Com $f(x)=\frac{x}{1+|x|}$. Se $x>y\ge 0$, $f(x)=\frac{x}{1+x}$ e $f(y)=\frac{y}{1+y}$:

O numerador $x-y>0$ e o denominador $(1+x)(1+y)>0$, logo $f(x)-f(y)>0$.

Se $0>x>y$: $f(x)=\frac{x}{1-x}$, $f(y)=\frac{y}{1-y}$. A mesma diferença de frações dá $\frac{x-y}{(1-x)(1-y)}>0$ (denominadores $>1$).

Se $x\ge 0>y$: $f(x)\ge 0>f(y)$.

Em todos os casos $x>y$ implica $f(x)>f(y)$: $f$ é estritamente crescente em $\mathbb{R}$.

Por que isso dá injeção. Injetiva significa entradas distintas com saídas distintas: se $f(a)=f(b)$, não pode ser $a>b$ nem $b>a$ (a diferença seria $>0$), logo $a=b$.

Quadrado e números negativos

$x=-1$ cumpre $x^2\le 4$, mas não $x\le -2$. A conjunção $x\le 2$ e $x\le -2$ é só $x\le -2$, um pedaço distinto de $[-2,2]$.

Com $x=-3<y=-1$, vale $x<y$ e $x^2=9>1=y^2$: $x<y$ não força $x^2<y^2$.

Elevar ao quadrado não preserva a ordem em negativos. A desigualdade $x^2\le 4$ equivale a $|x|\le 2$, o intervalo $[-2,2]$, e não à conjunção $x\le 2$ e $x\le -2$.

$x\mapsto x^2$ decresce em $(-\infty,0]$ e cresce em $[0,\infty)$.

$x^2<1$ e o intervalo $(-1,1)$

$x=\frac12$ dá $\frac14<1$ e $-1<\frac12<1$. Em $x=\pm 2$, $x^2=4\not< 1$.

$\sqrt{x^2}=|x|$ e a raiz (em $[0,\infty)$) preserva a ordem: $x^2<1^2\Leftrightarrow |x|<1$.

Fatorando: $x^2-1<0\Leftrightarrow(x-1)(x+1)<0$, produto negativo só entre as raízes.

Logo $x^2<1$ equivale a $|x|<1$, isto é $-1<x<1$.