Sistemas de Equações Lineares

Um sistema linear é um conjunto de equações do primeiro grau nas mesmas incógnitas, todas válidas ao mesmo tempo. Em matriz isso é Ax = b, e a solução é a interseção dos hiperplanos.

Escalonamento, núcleo e matrizes elementares deste tópico — e posto, inversa e transformações nos seguintes — reutilizam essa escrita.

As páginas se agrupam em cinco blocos. O primeiro monta Ax = b e decide quando inversa ou Cramer dão a solução única.

O segundo escalona: operações de linha, REF, RREF, o 2×2 e o procedimento 3×3.

O terceiro trata do homogêneo Ax = 0: a origem sempre resolve, e o espaço nulo se escreve em forma paramétrica.

O quarto lê Ax = b com b ≠ 0: consistência, particular mais núcleo, e o contraste entre os dois formatos.

O quinto registra cada operação de linha como matriz elementar e o produto à esquerda.

Sistemas Lineares monta A, x e b e calcula x = A⁻¹b ou Cramer quando A é invertível. Eliminação Gaussiana executa as três operações, produz REF/RREF e resolve o 2×2.

Eliminação gaussiana 3×3 faz o 3×3: troca para pivô 1, zeros coluna a coluna, substituição reversa. Matrizes elementares monta a E sobre I e acumula o produto à esquerda, última operação no fator mais à esquerda.

Sistemas Homogêneos decide se só a origem resolve ou se o núcleo tem dimensão positiva. Forma paramétrica do núcleo escreve x = t₁v₁ + ⋯ + tₖvₖ e confere candidatos.

Sistemas Não-Homogêneos testa consistência e escreve a geral como particular mais o homogêneo associado. Sistemas Homogêneos e Não-Homogêneos compara origem, hiperplanos deslocados e quando o conjunto fica vazio.