Transformações Lineares

Uma transformação linear T:V→W é uma função entre espaços vetoriais que preserva soma e produto por escalar: T(au+bv)=a T(u)+b T(v). T(0)=0; conhecidos os valores numa base, T(v) é combinação linear dos T(eᵢ).

Núcleo, imagem, matriz [T] e adjunta T∗ deste tópico — e autovalores, diagonalização e operadores nos tópicos seguintes — partem dessa lei.

As páginas se agrupam em quatro blocos. O primeiro testa a lei, calcula T(v) pela fórmula e acha núcleo e Im(T) no domínio inteiro.

O segundo aplica T a um subespaço W⊆V já dado e decide quando T é isomorfismo.

O terceiro monta a matriz de T, compõe duas transformações pelo produto BA e reescreve a mesma T em outra base por P⁻¹AP.

O quarto trata do funcional f:V→R, do único w com f(v)=⟨v,w⟩, e da adjunta T∗ definida por ⟨T(v),w⟩=⟨v,T∗(w)⟩.

Definição testa a lei e calcula núcleo e Im(T)=T(V). A imagem T(W) de um plano ou reta já dados, e o teste de isomorfismo, estão em Imagem de um subespaço.

Representação Matricial calcula T(v) pelo produto [T]v, cuja j-ésima coluna é T(eⱼ). Composição e mudança de base faz BA = T₂∘T₁, com T₁ à direita, e passa [T] à base nova por P⁻¹AP.

A matriz de T:V→W está em Representação Matricial. O vetor w com f(v)=⟨v,w⟩ está em Teorema da Representação.

Teorema da Representação devolve esse w. Adjunto constrói T∗ por ⟨T(v),w⟩=⟨v,T∗(w)⟩; em base ortonormal a matriz de T∗ é a transposta conjugada, e T∗=T torna essa matriz simétrica.