Espaços Vetoriais

Um espaço vetorial V é um conjunto munido de adição e produto por escalar que obedecem aos oito axiomas. Vetor é o elemento de V: n-upla em Rⁿ, polinômio em Rₙ[t] ou matriz m×n.

Subespaço, base, dimensão e soma direta deste tópico reusam esse V. Núcleo, imagem e espaço próprio nos tópicos seguintes também: cada um é um subconjunto fechado nas mesmas operações.

As páginas se agrupam em quatro blocos. O primeiro reconhece o espaço: conferir os axiomas no conjunto e nas operações propostas.

O segundo testa um subconjunto de um V já dado. O critério é nulo, soma e múltiplo escalar; retas e planos pela origem passam.

O terceiro combina subespaços já obtidos e identifica o menor que contém uma lista de geradores.

O quarto conta e decompõe. Base é gerador linearmente independente, [u]_B são as coordenadas nessa base, e soma direta é a escrita única v = u + w.

Candidato com operações próprias — escalar que ignora uma coordenada, ou polinômios de grau exatamente n — está em Definição. Subconjunto de um espaço já fixado, com o teste de fechamento, está em Subespaços.

Hiperplano a₁x₁+⋯+aₙxₙ = d com d ≠ 0, semiespaço e união de eixos estão em Contraexemplos de subespaço. Equação homogênea Ax = 0 está em Subespaços.

A soma U+W, sempre subespaço, está em Contraexemplos de subespaço. A unicidade da escrita e os critérios V = U ⊕ W estão em Somas Diretas.

Gerar e ser independente, escrever [u]_B e mudar de base está em Bases e Dimensão. O critério dim V = dim U + dim W para a decomposição está em Somas Diretas.