Introdução aos Vetores

Vetor em $\mathbb{R}^n$

Um vetor em $\mathbb{R}^n$ é uma $n$-upla: uma lista ordenada de $n$ números reais. Geometricamente, no plano e no espaço, ele é uma seta: o comprimento é a magnitude e a ponta indica a direção.

$\vec{u}=(5,4)$ em $\mathbb{R}^2$ tem dois números nessa ordem: o primeiro é $5$, o segundo é $4$. A seta no plano avança $5$ na horizontal e $4$ na vertical. Em $\mathbb{R}^3$, $(3,3,2)$ tem três números; $(1,x,5)$ também, com o do meio ainda uma letra.

Ideia central

Dois vetores $\vec{u}=(u_1,\ldots,u_n)$ e $\vec{v}=(v_1,\ldots,v_n)$ são iguais se e somente se $u_i=v_i$ para todo $i$. $(3,0)$ e $(0,3)$ têm o mesmo comprimento e não são o mesmo vetor.

Notação usual: $\vec{v}$, $\mathbf{v}$, ou simplesmente $v$. Em $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$,

A mesma $n$-upla também se escreve a partir dos três vetores dos eixos

como $\vec{v}=v_x\hat{\imath}+v_y\hat{\jmath}+v_z\hat{k}$.

Vetor de posição $\overrightarrow{OP}$ liga a origem ao ponto $P(x,y,z)$: suas componentes são as coordenadas de $P$. Vetor livre: só magnitude e direção importam, a seta pode ser deslocada paralelamente a si mesma. Quando se pede $\overrightarrow{AB}$ a partir de dois pontos, as componentes são a diferença das coordenadas.

Tipos de vetores

• Nulo. $\vec{0}=(0,\ldots,0)$. Magnitude zero; não se atribui direção. Somar o nulo não altera o vetor: $\vec{v}+\vec{0}=\vec{v}$.
• Oposto. $-\vec{v}=(-v_1,\ldots,-v_n)$. Mesma magnitude, sentido invertido. Somar o oposto devolve o nulo: $\vec{v}+(-\vec{v})=\vec{0}$.
• Iguais. Mesmas componentes (logo mesma magnitude e mesma direção).
• Paralelos (colineares). Existe $\lambda\in\mathbb{R}$ com $\vec{u}=\lambda\vec{v}$ (e $\vec{v}\neq\vec{0}$). Se $\lambda>0$, mesmo sentido; se $\lambda<0$, sentidos opostos. $(3,6)$ é paralelo a $(-1,-2)$ porque $(-1,-2)=-\frac{1}{3}(3,6)$. $(3,6)$ não é paralelo a $(6,3)$: $\lambda=2$ faria $6=\lambda\cdot 3$ na primeira coordenada, mas a segunda exigiria $\lambda=\frac{1}{2}$.

Operações: soma, escalar, diferença

Geometricamente, $\vec{a}+\vec{b}$ é a diagonal do paralelogramo com lados $\vec{a}$ e $\vec{b}$. O mesmo vetor-soma é a seta que parte do início de $\vec{a}$ e chega à ponta de $\vec{b}$, depois de colocar o início de $\vec{b}$ na ponta de $\vec{a}$.

Algebricamente, soma-se coordenada a coordenada:

O produto por um escalar $k\in\mathbb{R}$ multiplica cada coordenada:

Se $k>0$, o sentido se mantém; se $k<0$, inverte; se $k=0$, sai $\vec{0}$. A diferença é soma com o oposto:

Propriedades

Essas identidades valem em $\mathbb{R}^n$ porque soma e produto por escalar agem coordenada a coordenada.

Exemplo: $3\vec{u}-2\vec{v}$ em $\mathbb{R}^3$

Sejam $\vec{u}=(1,-2,4)$ e $\vec{v}=(3,0,-1)$. Calcule $3\vec{u}-2\vec{v}$.

Vetor determinado por dois pontos

Se $A=(a_1,a_2,a_3)$ e $B=(b_1,b_2,b_3)$ são pontos, o vetor de $A$ até $B$ é a diferença das coordenadas de $B$ menos as de $A$:

Inverter a ordem troca o sinal: $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$. Sempre que o enunciado dá pontos e pede um vetor, esta é a conta.

Exemplo: lados a partir de três pontos

Pontos $A(2,3,4)$, $B(1,5,6)$ e $C(4,2,3)$.

Paralelo, mesmo sentido, oposto, o teste $\lambda$

Para decidir se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são paralelos ($\vec{v}\neq\vec{0}$), procure $\lambda$ tal que $u_i=\lambda v_i$ em todas as coordenadas. Na prática: forme as razões $u_i/v_i$ onde $v_i\neq 0$ e verifique se coincidem; onde $v_i=0$, deve-se ter $u_i=0$.

Exemplo

São $\vec{p}=(2,-4,6)$ e $\vec{q}=(-1,2,-3)$ paralelos?