Experimentos Aleatórios

O que é um experimento aleatório

Um experimento aleatório é um procedimento que se pode repetir sob as mesmas regras e cujo resultado não fica determinado antes de realizar. Lançar uma moeda, um dado ou retirar uma carta de um baralho embaralhado: o aparato é conhecido, mas o desfecho desta realização não.

O oposto é um experimento determinístico: o resultado segue das condições iniciais. Soltar uma pedra no vácuo, perto da Terra, produz sempre a mesma queda. Não há desfechos concorrentes — por isso não há o que sortear.

Duas marcas separam os dois tipos:

1. Repetibilidade. Dá para executar o procedimento várias vezes com as mesmas regras e registrar o desfecho de cada vez.
2. Incerteza. Em cada realização, o desfecho concreto não é previsível, mesmo conhecendo o aparato.

As regras estão fixas (duas faces, seis faces, 52 cartas); o aleatório está em qual face ou carta sai agora. A probabilidade entra depois, para quantificar essa incerteza. O procedimento e o conjunto de desfechos possíveis vêm antes dessa conta.

Espaço amostral finito

O espaço amostral $S$ é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Cada elemento de $S$ é um resultado elementar (ou ponto amostral): um desfecho que, neste modelo, não se decompõe em outros.

Por que um conjunto? A pergunta "o que pode acontecer?" precisa de uma resposta fechada antes de contar pontos ou atribuir pesos. Sem listar $S$, não há como distinguir "todos os desfechos" de "alguns". O conjunto $S$ reúne os desfechos possíveis pelas regras; ele não prevê qual ponto sairá.

Aqui $S$ é finito: dá para listar os pontos. Espaços infinitos (contar lançamentos até a primeira cara, ou medir um tempo contínuo) pedem outra ferramenta; o curso começa pelo caso em que $S$ cabe numa lista.

Exemplos de $S$ finito:

• Uma moeda: $S=\{\text{cara},\text{coroa}\}$, $|S|=2$.
• Um dado de seis faces: $S=\{1,2,3,4,5,6\}$, $|S|=6$.
• Uma carta de um baralho padrão: $|S|=52$.

Um dado e uma carta têm $|S|$ diferentes porque as regras admitem quantidades diferentes de desfechos. $|S|$ conta os pontos do modelo, não mede quão aleatório é o experimento.

Experimento composto: produto e árvore

Um experimento simples tem uma só etapa (um lançamento). Um experimento composto encadeia etapas: duas moedas; uma moeda e depois um dado; dois dados.

Moeda e depois um dado: a primeira etapa tem $2$ desfechos e a segunda tem $6$ faces. Cada desfecho da moeda pode ser seguido por qualquer face.

A raiz da árvore não é um resultado. O primeiro nível ramifica nos $2$ desfechos da moeda. De cada um desses ramos saem $6$ folhas, uma por face do dado.

Cada caminho da raiz até uma folha é um ponto de $S$: um par ordenado $(a,b)$ (ou uma $n$-upla, se houver mais etapas), com uma coordenada por etapa. Dois pares são o mesmo ponto exatamente quando as coordenadas correspondentes coincidem.

O ramo que começa em cara e o ramo que começa em coroa não compartilham folhas, e todo caminho começa em um dos dois. Contar os caminhos é multiplicar o número de ramos pelo número de folhas em cada um.

Pelo princípio fundamental da contagem, a mesma conta vale quando a primeira etapa tem $m$ resultados, a segunda tem $n$, e as etapas se combinam livremente — cada desfecho da primeira pode ser seguido por qualquer desfecho da segunda:

Se a segunda etapa não existe em todos os ramos, o produto simples $m\cdot n$ não vale. Exemplo: só se lança o dado quando a moeda deu cara; se deu coroa, o experimento para. O ramo cara tem $6$ folhas e o ramo coroa tem $1$ folha (a própria coroa). A árvore tem $7$ caminhos, não $2\times 6=12$. Conta-se ramo a ramo. O caso padrão é o produto livre.

A árvore monta $S$; os pesos nos ramos vêm depois.

Exemplo: uma moeda

Lançar uma moeda. As regras admitem dois desfechos, e só dois:

Antes do lançamento não dá para saber qual dos dois sai. Isso já distingue o experimento da pedra que sempre cai: lá o modelo teria um único ponto.

Para duas moedas em sequência, a árvore tem dois níveis, cada um com $2$ ramos. Escreva C para cara e K para coroa:

      raiz
     /    \
    C      K
   / \    / \
  C   K  C   K

Os quatro caminhos são CC, CK, KC e KK. Logo

A ordem importa: CK e KC são pontos distintos — primeira C e segunda K não é o mesmo caminho que primeira K e segunda C. Uma moeda usa o conjunto $\{\text{C},\text{K}\}$. Dois lançamentos em sequência formam pares em $S$ com quatro pontos.

Exemplo: moeda e depois um dado

Lança-se uma moeda e, em seguida, um dado de seis faces. As etapas se combinam livremente: qualquer face pode seguir cara ou coroa.

moeda
├── C ── 1, 2, 3, 4, 5, 6
└── K ── 1, 2, 3, 4, 5, 6