Coordenadas Homogêneas e Matrizes de Transformação

Em computação gráfica, um objeto é um conjunto de pontos. Colocá-lo na cena é aplicar a cada ponto uma transformação geométrica: translação (deslocar), rotação (girar) e escala (esticar ou comprimir). O pipeline trata as três da mesma forma, como produto de matrizes, desde que o ponto esteja em coordenadas homogêneas, e o mapa afim assim obtido preserva convexidade enquanto o vetor normal segue a inversa transposta da parte linear.

Um ponto cartesiano $(x, y)$ no plano vira o vetor coluna $(x, y, 1)^{\mathrm{T}}$. Em 3D, $(x, y, z)$ vira $(x, y, z, 1)^{\mathrm{T}}$. A última entrada é a coordenada $w$. Nesta página $w = 1$ e os vetores são coluna: a matriz mais à direita age primeiro.

Por que $w$ existe

Uma transformação linear $L$ em $\mathbb{R}^2$ obedece $L(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$. Rotação em torno da origem e escala em torno da origem satisfazem isso: a origem fica parada, e uma matriz $2\times 2$ já descreve o mapa.

Translação, $p' = p + t$, não é linear. Ela manda a origem para $t$. Nenhuma matriz $2\times 2$ reproduz um deslocamento, porque toda matriz $2\times 2$ fixa a origem. Com a coordenada extra $w = 1$, o mesmo deslocamento vira a última coluna de uma matriz $3\times 3$: o produto $M p$ soma $t$ justamente quando $w = 1$.

Dado um vetor homogêneo $(X, Y, w)$ com $w \neq 0$, o ponto cartesiano é $(X/w, Y/w)$. A divisão por $w$ devolve o plano. O caso $w = 0$ representa uma direção (um ponto no infinito). Não corresponde a um ponto finito no plano cartesiano. Nas matrizes desta página a última linha é $(0,0,1)$, ou $(0,0,0,1)$ em 3D; $w$ permanece $1$ e a divisão não entra no cálculo.

Rotação e escala em torno da origem já são lineares: não precisam de $w$. A coordenada homogênea existe para a translação entrar no mesmo produto $p' = M p$. Encaixar $R$ e $S$ no formato $3\times 3$ é só para poder multiplicá-las por $T$ numa sequência única.

Por exemplo, o ponto $(2, 3)$ transladado por $(4, -1)$:

Sem a terceira coluna, a identidade $2\times 2$ deixaria $(2, 3)$ no lugar: não há entrada onde guardar o $(4, -1)$. O mesmo ponto girado $90^\circ$ em torno da origem não precisa dessa coluna extra: a matriz $2\times 2$ com $\cos(\pi/2) = 0$ e $\sin(\pi/2) = 1$ já manda $(2, 3)$ em $(-3, 2)$. O produto $M p$ com $w = 1$ realiza o mapa afim $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{b}$; a imagem de um convexo e o destino do vetor normal não seguem a mesma regra.

Imagem afim de um convexo

Um conjunto $C$ é convexo quando contém o segmento entre quaisquer dois dos seus pontos: se $p, q \in C$ e $\lambda \in [0,1]$, então $(1-\lambda)p + \lambda q \in C$. A transformação que as homogêneas empacotam, $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{b}$ com $A$ a parte linear (o bloco $2\times 2$ ou $3\times 3$) e $\mathbf{b}$ a translação da última coluna, é afim.

$T$ preserva combinações convexas:

O segmento entre $T(p)$ e $T(q)$ é a imagem do segmento entre $p$ e $q$. Se esse segmento estava em $C$, a imagem está em $T(C)$. Logo a imagem de um convexo é convexa. Translação, rotação e escala (mesmo com fatores distintos) são afins; um triângulo, um disco ou um poliedro convexo permanece convexo. A translação impede $T$ de ser linear quando $\mathbf{b}\neq\mathbf{0}$, mas não impede a preservação das combinações convexas.

O triângulo de vértices $(0,0)$, $(2,0)$, $(0,2)$ é convexo. Com $T(x,y)=(2x+1,\, y)$ — escala $s_x=2$ e translação $(1,0)$ — os vértices vão a $(1,0)$, $(5,0)$, $(1,2)$. O ponto $\tfrac12(2,0)+\tfrac12(0,2)=(1,1)$ vai a $T(1,1)=(3,1)$, que é $\tfrac12(5,0)+\tfrac12(1,2)$. A imagem é o triângulo com os novos vértices, ainda convexo.

Pontos e tangentes viajam com $A$; o vetor perpendicular à tangente (o normal) não.

Normal pela inversa transposta

Um vetor tangente é diferença de pontos: em homogêneas tem $w = 0$ e transforma-se só pela parte linear, $t' = A t$. O vetor normal $\mathbf{N}$ num ponto é a direção perpendicular ao plano tangente: $\mathbf{N}\cdot t = 0$ para toda tangente $t$ naquele ponto. Depois do mapa, a condição passa a ser $\mathbf{N}'\cdot (A t) = 0$. Isso não é $\mathbf{N}' = A\mathbf{N}$, salvo quando $A$ é uma rotação.

De $\mathbf{N}^{\mathrm{T}} t = 0$ quer-se $\mathbf{N}'^{\mathrm{T}} A t = 0$ para as mesmas $t$. Então $\mathbf{N}'^{\mathrm{T}} A = \mathbf{N}^{\mathrm{T}}$ (a menos de escala), e

$(A^{-1})^{\mathrm{T}} = (A^{\mathrm{T}})^{-1}$: inverte o bloco linear e transpõe, em qualquer ordem. A translação $\mathbf{b}$ não entra: normal é direção. Só $A$ aparece. A fórmula pede $A$ invertível — translação, rotação e escala com fatores não nulos. Se $A$ é ortogonal, $A^{-1}=A^{\mathrm{T}}$ e $(A^{-1})^{\mathrm{T}}=A$: aí o normal viaja com $A$. Escala não uniforme quebra essa coincidência.

A reta $x+y=0$ tem tangente $t=(1,-1)$ e normal $\mathbf{N}=(1,1)$. Com a escala $A=\mathrm{diag}(2,1)$, a tangente vira $t'=(2,-1)$. O produto $A\mathbf{N}=(2,1)$ não é perpendicular a $t'$: $2\cdot 2 + 1\cdot(-1)=3\neq 0$. Já $(A^{-1})^{\mathrm{T}}\mathbf{N}=\mathrm{diag}(1/2,\,1)\,(1,1)=(1/2,\,1)$, e $(1/2)\cdot 2 + 1\cdot(-1)=0$.

As matrizes canônicas da seção seguinte são casos desse mapa afim: parte linear no bloco esquerdo e, se houver translação, última coluna.

Matrizes $3\times 3$ no plano

Translação por $(t_x, t_y)$, rotação anti-horária $\theta$ em torno da origem, escala com fatores $(s_x, s_y)$:

$T$ usa de fato a coluna extra: $t_x$ e $t_y$ ficam nela. Em $R(\theta)$ e em $S$, o bloco $2\times 2$ já é a transformação inteira; o $1$ no canto só as deixa do mesmo tamanho que $T$, para o produto $T R S$ fazer sentido.

Não confunda pivô na origem com pivô no centro de massa. A matriz $R(\theta)$ sozinha gira em torno de $(0,0)$. Se o objeto está deslocado, o centro de massa $c$ não coincide com a origem, e $R(\theta)$ arrasta $c$ numa órbita ao redor de $(0,0)$. Para girar em torno de $c = (x_c, y_c)$: leva $c$ à origem, aplica $R$, devolve $c$,

Um triângulo com vértices $(4,0)$, $(6,0)$, $(5,2)$ tem centroide $\bigl((4+6+5)/3,\ (0+0+2)/3\bigr) = (5, 2/3)$. Com $R(\pi/2)$, a regra $(x,y)\mapsto (-y, x)$ manda os vértices em $(0,4)$, $(0,6)$, $(-2,5)$.

O novo centroide é $(-2/3, 5)$, que é $R(\pi/2)$ aplicado ao centroide antigo: o centroide deslocou-se. Se o pivô fosse o centro de massa, o centroide teria ficado em $(5, 2/3)$.

Matrizes $4\times 4$ no espaço

O padrão se repete em $\mathbb{R}^3$: uma dimensão a mais para a translação. Translação $(t_x, t_y, t_z)$, escala $(s_x, s_y, s_z)$ e rotações em torno dos eixos coordenados:

$R_x$ gira no plano $yz$ (o eixo $x$ fica parado). $R_y$ gira no plano $xz$. $R_z$ gira no plano $xy$: é a $R(\theta)$ do plano, embutida. Como em 2D, só $T$ precisa da coluna extra; $R_x$, $R_y$, $R_z$ e $S$ já são lineares em $\mathbb{R}^3$.

$R_x$ e $R_z$ não comutam. Com $\theta = 90^\circ$, $\cos\theta = 0$ e $\sin\theta = 1$. O ponto $(0,1,0)$ no eixo $y$: $R_x$ o manda em $(0,0,1)$; em seguida $R_z$ deixa $(0,0,1)$ parado, porque $R_z$ só mistura $x$ e $y$. Na ordem inversa, $R_z$ manda $(0,1,0)$ em $(-1,0,0)$ e $R_x$ conserva o eixo $x$: o ponto permanece $(-1,0,0)$. Os dois resultados diferem.

Escala e depois translação

A multiplicação é associativa e não comutativa: $M = M_n \cdots M_2 M_1$ aplica $M_1$ primeiro. Uma matriz que mistura escala na diagonal e translação na última coluna,

é o produto $T(T_x, T_y)\, S(E_x, E_y)$, não $S\, T$.