Cálculo Vetorial

Uma integral de linha é a integral de um campo — um número em cada ponto, ou um vetor F=(P,Q) — ao longo de uma curva C. Parametrizando C por r(t)=⟨x(t), y(t)⟩, ∫_C f ds usa a norma de r′(t) e ∫_C P dx+Q dy usa P x′ + Q y′; a segunda é o trabalho.

O teorema de Green neste tópico reutiliza essa ∫_C P dx+Q dy quando C é borda de uma região D, e troca a circulação por ∬_D (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dA.

As páginas se agrupam em dois blocos. O primeiro monta r(t) e calcula a integral de linha, no caso escalar e no vetorial, inclusive quando o caminho começa num ponto e termina noutro.

O segundo fecha C e substitui a circulação na borda pela integral dupla do rotacional plano, com a orientação em que D fica à esquerda.

Calcular ∫_C P dx+Q dy ao longo de um arco que não fecha — escrever r(t) e integrar P x′ + Q y′ — está em Integrais de Linha. Se C já é a borda de D, a troca por ∬_D (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dA está em Teorema de Green.

∫_C f ds e o trabalho ∫_C F·dr, e o sinal ao inverter um caminho aberto, estão em Integrais de Linha.

O sentido anti-horário, e o sinal extra se C for horária, estão em Teorema de Green.