Tópicos Avançados em Matemática Discreta

Um código de bloco (n,k) sobre F₂ mapeia a mensagem m ∈ F₂ᵏ na palavra-código c ∈ F₂ⁿ. Só 2ᵏ das 2ⁿ cadeias de comprimento n pertencem ao código.

Canal, distância mínima, geradora G, verificadora H e Hamming (7,4) deste tópico partem desse mapa.

As páginas se agrupam em quatro blocos. O primeiro modela o canal: cada bit inverte independentemente, com a mesma probabilidade p nos dois símbolos.

O segundo fixa o código: mensagem de k bits vira palavra de n, e dₘᵢₙ determina quantos erros se detectam e quantos se corrigem.

O terceiro trata do código linear: C é subespaço de F₂ⁿ, G gera, H anula com GHᵀ = 0, e a síndrome s = Hrᵀ identifica o padrão de erro.

O quarto especializa no Hamming (7,4): as colunas de H são os sete vetores não nulos de F₂³.

A probabilidade p de inversão de um bit está em Teoria dos Códigos.

Detectar até dₘᵢₙ−1 erros e corrigir t = ⌊(dₘᵢₙ−1)/2⌋ estão em Teoria dos Códigos. Até dₘᵢₙ−1 o recebido sai de C; t é o raio em que as esferas em torno das palavras-código são disjuntas.

Codificar c = mG está em Teoria dos Códigos. A síndrome s = Hrᵀ igual a uma coluna de H inverte o bit dessa posição; s = 0 deixa o recebido como está.

Montar o Hamming (7,4) sistemático G = (I₄ | P), H = (Pᵀ | I₃) e corrigir um bit pela coluna de s está em Teoria dos Códigos.