Álgebra LinearVisão geral
Tópicos Avançados em Álgebra Linear
Um operador é uma transformação linear T:V→V. O adjunto T∗ é o único que satisfaz ⟨T(x),y⟩=⟨x,T∗(y)⟩; as classes são T∗=T (autoadjunto), T∗=T⁻¹ (ortogonal no real, unitário no complexo) e TT∗=T∗T (normal).
Teorema espectral, movimentos rígidos T(x)=Qx+b e equações normais deste tópico partem dessa relação com T∗ e da ortogonalidade que ela implica.
As páginas se agrupam em cinco blocos. O primeiro classifica T pela relação com T∗ e o que segue de QᵀQ=I.
O segundo enuncia A=QΛQᵀ para simétrica real e calcula essa decomposição em 2×2.
O terceiro define isometria e classifica os tipos em R².
O quarto resolve Ax=b inconsistente por equações normais e ajusta uma reta.
O quinto monta a forma canônica racional por fatores invariantes e blocos companheiros.
Decidir se T∗=T está em Operadores Simétricos, Unitários, Ortogonais e Normais. Conferir Q⁻¹=Qᵀ e det Q=±1 está em Operadores ortogonais, unitários e normais.
A existência de A=QΛQᵀ está em O Teorema Espectral. Montar Q numa 2×2 simétrica está em Decomposição espectral na prática.
Preservar ‖T(u)−T(v)‖ e escrever T(x)=Qx+b está em Introdução a Movimentos Rígidos. Distinguir translação, rotação, reflexão e reflexão deslizante em R² está em Tipos de movimentos rígidos.
Minimizar ‖Ax−b‖ e montar AᵀAx=Aᵀb está em Método dos Mínimos Quadrados. Montar a matriz de intercepto e t e obter α, β está em Mínimos quadrados: reta.
Páginas deste tópico
Operadores Simétricos, Unitários, Ortogonais e Normais
ProBaixa incidência no POSCOMP11 min de leitura · 48ª mais cobrada em Álgebra Linear
Operadores simétricos/autoadjuntos e o que sempre vale para T*=T.
Operadores ortogonais, unitários e normais
ProMédia incidência no POSCOMP11 min de leitura · 23ª mais cobrada em Álgebra Linear
Operadores ortogonais, unitários e normais.
O Teorema Espectral
ProBaixa incidência no POSCOMP8 min de leitura · 44ª mais cobrada em Álgebra Linear
Enunciado do teorema espectral para operadores simétricos.
Decomposição espectral na prática
ProMédia incidência no POSCOMP12 min de leitura · 39ª mais cobrada em Álgebra Linear
Calcular a decomposição espectral em exemplos 2×2 e vizinhos.
Introdução a Movimentos Rígidos
ProBaixa incidência no POSCOMP10 min de leitura · 60ª mais cobrada em Álgebra Linear
Definição de movimento rígido, isometria e forma afim T(x)=Qx+b.
Tipos de movimentos rígidos
ProMédia incidência no POSCOMP14 min de leitura · 30ª mais cobrada em Álgebra Linear
Tipos em R², orientação, composição e o que não é movimento rígido.
Método dos Mínimos Quadrados
ProBaixa incidência no POSCOMP12 min de leitura · 55ª mais cobrada em Álgebra Linear
Equações normais e a geometria da projeção no espaço-coluna.
Mínimos quadrados: reta
ProBaixa incidência no POSCOMP11 min de leitura · 56ª mais cobrada em Álgebra Linear
Ajustar uma reta por três pontos via mínimos quadrados.