Autovalores e Autovetores

Um autovalor de uma matriz A n×n é um escalar λ para o qual existe v ≠ 0 com Av = λv. Esse v é o autovetor; o vetor nulo nunca é autovetor, porque A0 = λ0 vale para todo λ.

Espaços próprios e a fatoração A = PDP⁻¹ neste tópico — e o teorema espectral no tópico seguinte — partem de Av = λv e das raízes de det(A−λI).

As páginas se agrupam em quatro blocos. O primeiro calcula p_A(λ) = det(A−λI) e lê as raízes, com o atalho triangular.

O segundo lê soma e produto dos autovalores no traço e no determinante, sem achar cada raiz, e monta o espaço próprio E_λ.

O terceiro decide se há base de autovetores e, quando há, escreve A = PDP⁻¹.

O quarto determina o polinômio mínimo m_A, o mônico de menor grau que anula A, e compara seus fatores com os de p_A.

Definição e Cálculo monta p_A e lista cada λ. Se a questão pede só a soma ou o produto dos autovalores, a conta está em Traço e determinante.

O espaço próprio E_λ e as multiplicidades geométrica e algébrica estão em Traço e determinante. As colunas de P e a diagonal D estão em Diagonalização.

Diagonalização decide se A é diagonalizável e constrói P e D. Polinômio Mínimo julga se um polinômio dado é o mínimo e se m_A se fatore em lineares distintos.

Definição e Cálculo encontra os autovalores como raízes de p_A. Polinômio Mínimo calcula o mônico de menor grau com m_A(A) = 0, que divide p_A.